[선형대수학] Chapter 1-1. Linear equation, System, row operations

얼마 전부터, 선형대수학을 조금씩 다시 공부하기 시작했습니다!!

그래서 공부하는 김에 나중에 다시 볼 수 있도록 차근차근 블로그를 쓰기로 결심하게 되었습니다.

Chapter 1-1. A systems of linear equations

1) Linear equation(선형 방정식 || 1차 방정식)

사진 1) Linear equation의 기본적인 형태

사진 2) Linear equation을 그래프로 나타냈을 때

기본적으로 Linear equation은 사진 1, 2의 형태처럼 생겼습니다. 

그리고 우리는 

와 같은 수들을 Coefficient(계수)라고 합니다.

여기서 한 가지 중요한 점은, Linear equation은 무조건적으로 사진 1의 형태를 띄고 있어야 한다는 것입니다.

예시를 한 번 들어볼까요?

ex 1) 

와 같은 형태의 방정식은 linear equation이 아닙니다.

그 이유는 x1x2와 같은 형태면 안 되기 때문이죠.

ex2) 

와 같은 형태의 방정식 또한 linear equation이 아닙니다.

그 이유는 때문이죠.

2) A system of linear equation

1)에서 설명한 linear equation은 system의 형태로 존재할 수 있는데,

바로 1개 이상의 linear equation이 있다면 이를 system of linear equation이라고 합니다.

3) Solution set(해 집합)

당연히, 여러 개의 linear equation이 존재한다면 사진 2처럼 그에 따른 접점이 생기거나 혹은 없을 수도 있고 겹칠 수도 있게 되며,

따라서 해가 발생하게 될 것입니다. 

이처럼 System에서 가능한 해의 집합을 solution set이라고 명명합니다.

system에서 가능한 해 집합의 종류는 총 세 가지가 있는데,

(1) 해가 없다. (No solution)

(2) 해가 하나만 존재한다. (Exactly one solution)

(3) 무한히 많은 해가 존재한다. (Infinite solution) 

이렇게 3가지 종류가 있게 됩니다. 

여기서 한 가지 독특한 점은, Solution이 2개 혹은 3개 있는 경우는 아예 존재하지 않고

해가 단 하나만 존재하거나, 무한하게 존재해야 한다는 점입니다.

+a) 외국에서는 (1) 해가 없는 경우를 inconsistent하다고 하며, (2)와 (3)의 경우는 해가 존재하기 때문에 consistent라고 합니다. 꼭 기억해두세요!!

4) Coefficient matrix와 Augmented matrix

이름만 봐도 딱 감이 오듯, Coefficient matrix는 계수들만을 가지고 만든 Matrix(행렬)입니다.

Augmented matrix는 = 이후에 나오는 상수까지 붙여서 만든 행렬이라고 할 수 있습니다.

역시 눈으로 봐야겠죠? 아래의 사진 3을 한 번 보시죠.

사진 3) System, augmented matrix와 coefficient matrix의 형태

참고로 사진 3의 시스템과 두 매트릭스는 일치하지 않습니다. 

한 가지 주의하셔야할 점은, 식이 없는 곳에는 0을 집어넣는다는 것입니다.

예를 들어 사진 3의 system을 가지고 augmented matrix를 작성한다고 하면,

와 같은 형태가 됩니다. (참고로 = 다음에 나오는 상수도 그냥 저렇게 씁니다. 굳이 |라던가 :를 사용한 분리는 하지 않습니다.)

5) Elementary row operation 

사실상 다음 챕터를 위해 가장 중요한 부분이라고 할 수 있는데요,

단순히 행렬을 만들고 나고 끝나지는 않겠죠?

우리는 행렬을 원하는 형태로 바꿀 수도 있고, 혹은 해를 구하기 위한 계산을 해야 할 수도 있습니다.

따라서 행 연산이 필요하게 되는데요, 원리는 아주 간단합니다.

우리가 system에서 각 equation을 행으로 만들었기 때문에,

 그 행들에 계산을 하여 해를 구하는 과정에서 사용하는 방법이 elementary row operation입니다.

사진 4) Elementary row operation (Interchange, Scaling, Replacement의 순서)

따라서 Elementary row operation에는 3가지 방법이 있습니다.

(1) Interchange (행의 위치를 바꿈)

(2) Scaling (특정 row에 특정 값, 즉 상수를 곱하거나 나누느 행위)

(3) Replacement (다른 row에 곱하기나 나누기를 한 후, 해당 row에 더하거나 빼기 하는 것)

위의 사진 4에 순서대로 나와 있으니, 한 번씩 쓰-윽 보시는게 좋을 것 같습니다.

6) Row equivalent

어떤 행렬을 5)에서 배운 row operation으로 연산을 하고 나면 각 요소의 숫자가 다른 행렬이 나오겠죠?

그렇게 나온 행렬과 원래 행렬은 row operaion으로 연산을 하면 다시 똑같아 질 수 있기 때문에 row equivalent하다고 표현합니다.

또한 2개의 augmented marices가 row equivalent하면 같은 해의 set을 지니게 되겠죠.(이건 당연한 겁니다!!!)

+) Review

이것으로 Chapter 1-1이 끝났습니다!!

선형 대수에서 배우는 아주아주 기본적인 개념들을 배웠습니다.

솔직히 말하자면, 선형대수에서 배우는 개념들은 뒤에서 무조건 다 사용이 되기 때문에

외운다!! 라는 생각으로 공부를 하시는 것이 좋을 것 같습니다.

참고 자료 및 사진 출처 :

1) 칸 아카데미 https://www.khanacademy.org/math/precalculus

2) 위키 백과

3) https://slideplayer.com/slide/8898167/